YBoktanTAng,1QUanyingWU,1,* XIaoyiCTAVUK2 VEHAoZASMAK1,2
1Jiangsu Mikro ve Nano Isı Sıvısı Akış Teknolojisi ve Enerji Uygulaması Anahtar Laboratuvarı, Matematik ve Fizik Okulu, Suzhou Bilim ve Teknoloji Üniversitesi, Suzhou, Jiangsu, 215009, Çin
2Soochow Mason Optics Co., Ltd., Suzhou, Jiangsu 215028, Çin
*wqycyh@mail.usts.edu.cn
Soyut: Laplace denkleminin analitik çözümünü kullanmaya kıyasla daha fazla kişisel ihtiyaçları karşılayabilen aşamalı bir ek lens (PAL) tasarımı için sayısal bir yöntem öneriyoruz. Yöntemimizde, yardımcı işlevu(x, y) PAL'ın Laplace denkleminin sınır ve bağlantı koşulları ile sayısal çözeltisi ile elde edilir. Sınır koşulu, bireysel gereksinimden gelen girdi ile genetik algoritma kullanılarak elde edilir. Bağlantı koşulu, daha pürüzsüz olan sonlu fark yöntemi kullanılarak belirleniru(x, y) meridyen üzerinde. Dış mekan için iki örnek verilmiştir ve
ofis kullanımı. Her iki durumda da, astigmatizm alanı lensin kenarına yakın küçük bir alana doğru itilir.
© 2017 Amerika Optik Derneği
OCIS Kodları:(220.0220) Optik tasarım ve imalat; (080.0080) Geometrik optik.
Referanslar ve bağlantılar
JT Winthrop, Wellesley ve Mass, "Progressive Count Spectacle Lens", ABD Patent Numarası 4861153, 1989.
T. Steele, H. McLoughlin ve D. Payne, "Progresif Ek Gücü", ABD Patent Sayı 6776486B2, 2004.
J. Loost, G. Greiner ve HP Seidel, "Progresif Lens Tasarımına Varyasyonel Bir Yaklaşım", Comput. Des.
30(8), 595–602 (1998).
J. Wang, "Progresif Lens Matematik Analiz ve Sayısal Yöntemlerin Tasarımı" (Eden Prairie: Minnesota Üniversitesi Doktora Tezi, 5-54 (2002).
J. Wei, W. Bao, Q. Tang ve H. Wang, "Aşamalı-ek lensler tasarlamak için varyasyon-fark sayısal bir yöntem", Comput. Des.48(3), 17–27 (2014).
S. Wu, L. Qian, H. Chen, Y. Wang ve J. Yu, "İlerici ilave lensler için meridyen çizgileri tasarımı üzerine araştırma", Acta Opt. Günah.29(11), 3186–3191 (2009).
Y. Tang, Q. Wu, X. Chen, H. Zhang ve Y. Long, "Genetik Algoritmaya Dayalı İlerici İlave Lenslerin Meridyen Optimizasyonu", Acta Opt. Günah.34(9), 09220051–09220057 (2014).
Z. Da,Varyasyon Hesapının Temelleri (İkinci Baskı), (Ulusal Savunma Endüstrisi, 2007), Chap. 2.
H. Fan, benKısmi diferansiyel denklemler için thods (İnşaat Mühendisliği), (Çin Makine, 2013), Bölüm 1.
Wh Press, Sa Teukolsky, WT Vetterling, BP Flannery,C'de Sayısal Tarifler: Bilimsel Hesaplama Sanatı(Cambridge Üniversitesi, 1992), Sec. 19.2, 19.5.
1. Giriş
Aşamalı bir ek lens (PAL), farklı görüntüleme mesafelerinde sorunsuz net görme sağlar. PALS tasarlamak için iki ana yöntem kategorisi vardır. Biri doğrudan yönteme aittir. Örneğin, Winthropve ark.. [1] tasarımcıların göbek meridyen boyunca odak gücü belirttikleri bir sistemi tanımlamışlardır. Hem lensin geri kalanının şekli hem de ilerleyici yüzeyin eğrilikleri yardımcı fonksiyon tarafından belirleniru(x, y). Yardımcı fonksiyonun konturlarıx-y düzlem seviye eğrileri olarak adlandırılır. .
Yardımcı fonksiyon, Laplace denkleminin analitik olarak çözülmesiyle elde edildi. Steeleve ark.. [2], konikler (yardımcı fonksiyon olarak) kullanarak tüm yüzey üzerindeki odak gücü belirtmiş ve eliptik kısmi bir diferansiyel denklemi çözerek PAL'ın yüzey şeklini elde etmiştir. Diğer yol, PAL yüzeyini dolaylı olarak belirlemektir. Örneğin, Loostve ark.. [3], Wang
[4], Wei [5], odak gücünün istenen dağılımı ile istenmeyen astigmatizma arasında bir dengeye ulaşmaya çalışan bir değerlendirme fonksiyonu tasarlamıştır. PAL yüzeyi, değerlendirme fonksiyonunun sayısal olarak en aza indirilmesiyle elde edildi. Doğrudan yöntemlerde meridyen odak gücünün tasarımları ve seviye eğrileri iki anahtar noktadır. Son zamanlarda, meridyen hattında optimize edilmiş odak güç dağılımını araştırma tekniği tanımlanmıştır [6,7]. Bükücüve ark.. Ve Steeleve ark.. seviye eğrileri için analitik ifadeler sundu [1,2]. Tüm bu yöntemlerin seviye eğrilerini ayarlamak için sadece iki veya üç parametresi vardır. Bu nedenle, görme düzeltmesi için kişisel ihtiyaçları karşılama yetenekleri sınırlıdır.
Yukarıda belirtilen yöntemlere kıyasla daha fazla kişisel ihtiyaç duyabilecek bir yöntem öneriyoruz. Yaklaşımımızda, seviye eğrileri, Laplace denkleminin bireysel duruma bağlı sınır ve bağlantı koşulları ile sayısal olarak çözülmesiyle elde edilir. Laplace denkleminin sınır durumu ile astigmatizm arasında karmaşık bir ilişki vardır. Sınır koşulu, kişiselleştirilmiş gereksinimden gelen girdi ile genetik algoritma kullanılarak elde edilir. Meridian çizgisindeki astigmatizmi en aza indirmek için, varyasyon prensibi ve sonlu fark yöntemini kullanarak daha pürüzsüz bir bağlantı koşulu öneriyoruz. Yöntem, bireyselleştirilmiş bir lensin belirlenmesi için esneklik ve verimlilik sağlar.
Aşamalı bir ek lens için seviye eğrilerinin tasarımı
Bir dostun yüzeyi dört bölgeye ayrılır (Şekil 1). Objektifin üst kısmındaki mesafe alanı 1 nispeten düşük bir fokal güce sahiptir. Yakın alan 2, mesafe alanının 10-18 mm altında ve nispeten yüksek bir fokal güce sahiptir. Progresif Koridor 3, mesafeyi ve yakın alanları birbirine bağlar. Astigmatizm alanları 4, nispeten şiddetli astigmatizma ile aşamalı koridorun solunda ve sağındadır. Uzak alandaki referans noktası A ve yakın alandaki referans noktası B arasındaki odak güç farkı, PAL'ın ilave gücü (ADD) olarak kabul edilir. Mesafe alanı, yakın ve aşamalı koridora etkili görme bölgeleri denir. Astigmatizm alanları bir kullanıcının vizyonunu düzeltmek için kullanılamaz.
Şekil 1. Bir dostun dört bölgesi.
Orijip o lensin merkezidir vex-y Düzlem merceğe teğettir. X ekseni, artan odak gücü yönünde aşağı doğru işaret eder. .z-Axis kağıttan okuyucuya doğru işaret ediyor. Meridian çizgisi A ve B noktalarını bağlar. A ve B noktası arasındaki mesafe, ilerici koridorun uzunluğudur.
Doğrudan tasarım yöntemi birkaç adıma ayrılır. İlk adım, meridyen odak gücünü (meridyen çizgisi boyunca) ve yardımcı fonksiyonu tasarlamaktır.u(x, y). İkincisi
Adım, PAL yüzeyindeki her noktada eğriliği ve eğrilik merkezlerini belirlemektir. Son adım vektör yüksekliğini elde etmektirz(x, y) .
Odak güç dağılımı lensin yüzeyinde pürüzsüz olmalıdır, bu nedenle yardımcı işlevu(x, y) sorunsuz bir şekilde dağıtmalıdır. Pürüzsüzlük için bir kriter, kısmi türevlerin kuadratik toplamını gerektirir ¶u / ¶x Ve ¶u / ¶y minimum olun, yani
Dirichlet integrali minimumdur. Euler-Lagrange varyasyon prensibine göre, yardımcı işlevu(x, y) Laplace denklemini tatmin eder
Eq. (1) Sayısal teknik kullanarak. Laplace denkleminin sınır koşulu genetik algoritma kullanılarak optimize edilirken, bağlantı koşulu sonlu fark yöntemi kullanılarak elde edilir.
2.1 Laplace denkleminin sınır durumu
Kontrol noktasıuk hesaplama alanının sınırındaki ızgara noktalarından birini temsil eder Ω ve
Buradah ilerici koridorun uzunluğu ile ilgilidir,L A noktasından orijinal O noktasına olan mesafe vepk 0 ile 1 arasında değişen genetik algoritmanın kontrol parametresidir.K genetik algoritmadaki 'kromozom' sayısıdır. Tüm 'kromozomların' dizisih - L .
pk 'Birey' olarak bir vektör oluşturur. Değeriuk değişir -L ile
Objektif işlevf genetik algoritmanın vektörün esaslarını karşılamaktadır [7]
Burada F1, arkadaşın maksimum astigmatizmasıdır. Maksimum astigmatizm, f*=gereksinimini karşılamalıdır.r P - P , NeresiP VeP A ve B noktalarındaki odak güçleriA B A B Ver ek gücün ağırlıklandırma faktörüdür. Fi ( i = 2, 3L6) uzaklık alanındaki astigmatizmin ortalama değerleri, yakın alan ve aşamalı koridor ve ikiAstigmatizm alanları sırasıyla. Fi ( i = 7, 8, 9) sırasıyla mesafe alanındaki ortalama güç değerleridir ve aşamalı koridor. F* karşılık gelen objektif değerlerdir. Fi Optimize edilmiş sınırı aramak için genetik algoritma döngüsünde değişiklikkoşullar.a1 ,...,a6 ilgili alanların astigmatizmin ağırlıklandırma faktörleridir.a7 ,a8 vea9, ilgili alanların odak güç farkının ağırlıklandırma faktörleridir.r ( 0.75 £ r £ 1) veai ( 0.1 £ ai £ 2) göreceli değerlerdir ve kullanıcıların tercihleri ile belirlenir. Açık hava etkinlikleri için geniş bir mesafe alanı gereklidir, bu nedenle ağırlıklandırma faktörüa2 daha büyük olmalıa3. Ofis faaliyetleri için, daha küçük bir mesafe alanı ve daha büyükYakın alan arandı, bu yüzden ağırlıklandırma faktörüa3 daha büyük olmalıa2. Her durumda, astigmatizmin mümkün olduğunca az olmasını istiyoruz, ancak çaba, açık mesafe ve yakın bölgelerin boyutları gibi diğer taleplerle sınırlıdır. Aslında, mesafe alanı, yakın alan ve astigmatizm arasında bir değiş tokuş.
2.2 Laplace denkleminin bağlantı durumu
Önceki sanatta [1], yardımcı işlevu(x, y) A ve B noktaları arasındaki meridyen çizgisinde aşağıdaki gibidir
Arkadaşın astigmatizmasını azaltmak için, odak gücünü sabit tutmaya çalışıyoruz
Meridian hattındaki A ve B noktasının ötesinde. İşlevu(x, 0) daha fazla değişmeli
sorunsuz. A ve B noktalarında,u(x, 0)x, eğimler sıfıra eşit olmalıdır,u(x, 0) daha yüksek siparişe sahip olmalıdırN ilk vaning olmayan diferansiyel türevlerin. A ve B noktaları arasındaki meridyen çizgisinde, diferansiyel türevlerin mutlak değerleri
Emir daha az olduğunda minimumN veya eşitN .
1'den n'ye sipariş ile türevlerin karesinin toplamını en aza indiriyoruz.
Analitik ifadesiu(x, 0) minimum Denk. (5) Euler-Poisson denklemini tatmin eder [8]
Denk. (7) ve Denk. (8),Ci ( i = 1, 2,..., 2N ) Denk. (10) elde edilir. Sonra yardımcı işlevu(x, 0) Meridian hattında elde edilir.
Daha öte,ui, j genişlikli meridyen çizgisinin iki tarafındad sonlu fark şeması ile belirlenir [9]. Kare bir ızgara kullanıyoruz (xi , y j ) sayısal olarak hesaplamak içinui, j .
Verilenui, j = u(xi , y j ), ikinci türev için ortalanmış sonlu fark formülü kullanılır
Burada äy adım boyutudur. Simetrik eksenini varsayalımu(x, y) eşittirui, j -1. Denk. (11), meridyen çizgisini elde ediyoruz,ui, j +1
(12) Laplace denklemine dayanarak ve bir optimizasyon faktörü ekleyinau , elde ediyoruzu = u - 1 a Äy i, j ±1 i, j 2 u
(13)è øi, j Sonra değerleriui, j ± n n = 1, 2, 3 ... sırayla analoglaştırılır. Değerleriu(x, y) aşamalı koridorun sol ve sağ sınırları arasında elde edilir. Aşamalı koridorun genişliği ve optimizasyon faktörleriau farklı kişisel ihtiyaçlara göre değişin.
Laplace denkleminin sayısal çözümüYukarıda elde edilen sınır ve bağlantı koşulları ile Laplace denklemi,y2 0, (x, y)
u(x , y ) = f (x , y ) (x , y ) Î B
(14)
ïîu(xL , yL ) = j(xL , yL ), (xL , yL ) Î DL
Burada Ω Alanı, dostum için teğet olan kare bir bölgedir,BG Sınır,DL bağlantı koşulu alanı, durum
f(xG , yG) Optimize edilmiş sınır koşulu vej(xL , yL )
Laplace denkleminin bağlantı, sonlu fark şeması ile bir dizi fark denklemine dönüştürülür.
1 £ i £ m -1;1 £ j £ m -1
iG = 0,m, 0 £ jG £ m
íui, j = f(iG g, jG g), j
= 0,m
0 £ j £ m
(15) Buradag = Äx = Äy kare ω adımı ve yan uzunluğumgilem bir tamsayı.
Doğrusal EQ'lar. (15) birbirini izleyen kapak-revaksasyon (SOR) yaklaşımı ile çözülmüştür [10]. SOR tekniği, bir çözelti üzerinde birleşmek için ağ üzerinde tekrarlayan bir dizi süpürme kullanır. Yakınsama oranı aşırı gevşeme faktörünün (ORF) değerine bağlıdır ve ORF'nin tercih edilen bir değeri deneysel olarak belirlenir. SOR tekniğinin önemli bir avantajı, örgü noktalarının sayısının kare kökü ile orantılı bir zamanda yakınsamaya ulaşmasıdır. Bu özellik, hesaplama zamanındaki mütevazı maliyetle, SOR'un çözeltiye yakınlaşması için yeterli bir ağ yoğunluğunun uygulanabileceğini ima eder.
3. Örnekler ve Tartışma
Önerilen yöntemi, bir PAL'ın odak gücünün ve astigmatizminin spesifik bir dağılımının karşılık gelen sınır ve bağlantı koşulları tarafından nasıl elde edildiğini göstermek için iki örneğe uyguluyoruz. İlk örnekte, kullanıcı Pal'ı açık hava etkinlikleri için kullanır. Bu nedenle, geniş bir mesafe alanı gereklidir. Reçeteye göre, PAL -2. Lens malzemesinin kırılma endeksi 1.523'tür. PAL'ın ön yüzeyi + 2 ile küresel bir yüzeydir. 00 diyopter odak gücü. Arka yüzey, -4. 00} Diyopter odak gücü ile mesafe alanında ve -2. Değerlerih VeL sırasıyla 34 ve 17'dir.
Önerilen yöntemin performansını önceki analitik yöntemlerle karşılaştırmak için, ilerici bir yüzey Winthrop yöntemi ile hesaplanır. Laplace denkleminin çözümü, parametrelerle analitik bir ifadedirh , L , x Vey . Seviye eğrileri
Şekil 2'de gösterilmiştir.
Şekil 2. Laplace denkleminin analitik olarak çözülmesiyle elde edilen seviye eğrileri.
Vektör yüksekliğiz(x, y) bir dizi denklem ile elde edilir. İlköğretime göre
Diferansiyel geometri, ilerleyici yüzeyin odak gücü ve astigmatizması hesaplanır. Bunların konturları Şekil 3'te gösterilmiştir. Progresif koridorun uzunluğu yaklaşık 16 mm'dir. Net görme alanının genişliği (astigmatizm<0.5 diopter) in the distance area at x = -10 mm yaklaşık 26 mm'dir, bu da açık hava görme için yeterince geniş değildir.
Şekil 3. Winthrop yöntemi ile ilerleyici yüzeyin odak gücü (a) ve astigmatizması (b).
Daha geniş bir mesafe alanı elde etmek için ağırlıklandırma faktörüai Laplace denkleminin sınır koşullarını belirleme objektif fonksiyonunun Tablo 1'de gösterildiği gibi seçilmiştir. Genetik algoritma ile elde edilen sınır koşulları Şekil 4 ve Şekil 5'te gösterilmektedir.
Şekil 4. Sol ve sağ tarafların sınır koşulları.
Şekil 5. Mesafenin ve yakınların yakın koşulları.
Laplace denklemini sınır ve bağlantı koşullarıyla sayısal olarak çözerek, optimize edilmişu(x, y) elde edilir. Optimize edilmiş konturlar
u(x, y) Şekil 6'da gösterilmiştir.
Şekil 2 ile karşılaştırın, alan daha geniştir.u(x, y) -14 'dan daha küçük.
Şekil 6. Optimize edilmiş kontur çizgileriu(x, y) ilk örnekte.
Bir kereu(x, y) elde edilir,z(x, y) yukarıdaki tasarım adımları kullanılarak türetilebilir. Fokal güç ve astigmatizmin konturları Şekil 7'de gösterilmektedir. Progresif yüzeyin optik performansı Tablo 3'te verilmiştir.<-3.75 diopter) in Fig. 7 (a) is greatly improved than that in Fig. 3 (a). The width of the clear vision area (astigmatism<0.5 diopter) in distance area at x = -10 mm yaklaşık 46 mm'dir ve bu da açık hava görme için daha uygundur.
Şekil 7. İlk örnekte ilerleyici yüzeyin odak gücü (a) ve astigmatizması (b).
İlk örneğin Pal, bir CNC gravürü ve bir parlatma makinesi ile üretilmiştir. Optik özellikler, PAL'ın fokal güç ve astigmatizmi (veya silindir olarak adlandırılır) sağlamak için bir rotlex serbest form doğrulayıcısı (FFV) ile ölçülür. Test edilen odak gücü ve astigmatizmanın konturları Şekil 8'de gösterilmiştir. PAL'ın optik performansı Tablo 3'te gösterilmiştir. 0. Maksimum astigmatizmanın sapması 0.02 diyopterden azdır. Ön yüzeyin eğriliğinin etkisi nedeniyle, genişlik mesafe bölgesinde 12 mm ve 2 mm azalır (astigmatizm<0.5 diopter, x = -10 mm) ve yakın bölge (astigmatizm<0.5 diopter, x Üretilen Pal'ın progresif yüzeyden daha fazla üretilen Pal'ın=18 mm).
Şekil 8. FFV tarafından test edilen PAL'ın fokal gücü (a) ve astigmatizması (b).
İkinci örnekte, temel parametreler birincisi ile aynıdır. Pal ofiste kullanılır. Bu nedenle, daha büyük bir yakın alan ve daha geniş koridora ihtiyaç vardır. Genişlikd ilk örnekte olduğu gibi 6 mm yerine 9 mm olarak ayarlanmıştır. Yakın görme ihtiyacına dayanan ağırlıklandırma faktörleri Tablo 2'de gösterilmiştir. Genetik algoritma ile elde edilen sınır koşulları Şekil 9 ve Şekil 10'da gösterilmektedir.u(x, y) Şekil 11'de gösterilmiştir.
Şekil 9. Sol ve sağ tarafların sınır koşulları.
Şekil 10. Mesafenin sınır koşulları ve bölgeler.
Şekil 11. Optimize edilmiş kontur çizgileriu(x, y) ikinci örnekte.
Şekil 12, ikinci örneğin odak gücünün ve astigmatizminin konturlarını göstermektedir. Tablo 3, ilk örnek ve ikinci örnek arasındaki optik performans karşılaştırmasıdır. İlk örneğin mesafe alanının genişliği, ikinci örnekten 24 mm daha genişx = -10 mm. İkinci örneğin yakın alanının genişliği, ilk örnekten 8 mm daha geniştir.x = 18 mm. İkinci örneğin maksimum astigmatizmi ilk örneğinkinden daha küçüktür ve koridorun genişliği daha geniştir.
Şekil 12. İkinci örnekte ilerleyici yüzeyin odak gücü (a) ve astigmatizması (b).
Tablo 1 ve Tablo 2, kullanıcının farklı ihtiyaçlarına dayanan ağırlıklandırma faktörleridir. Parametrelerir Veai objektif fonksiyonun, kullanıcının ihtiyaçları ve tercihi ile belirlenir. Astigmatizm ağırlık faktörüa2, açık hava etkinlikleri için daha büyük bir değer seçilir. Ağırlıklandırma faktörlerinin daha büyük değerleria3 , a4 , a5 vea6 ofis kullanımı için seçilmiştir.
4.
Bu çalışmada, yardımcı fonksiyon üzerinde daha fazla kontrole sahip olan ve bu nedenle daha bireyselleştirilmiş görme düzeltmesini karşılayan yeni bir tasarım yaklaşımı geliştirdik. Amacına ulaşmak için Laplace denklemini sayısal olarak çözüyoruz. Sınır ve bağlantı koşulları belirli gereksinimleri karşılayacak şekilde ayarlanmıştır. Sonuç olarak, mesafenin ve yakın bölgelerin boyutlarına ve odak güçlerine özel bir ihtiyaç, PAL tasarımında daha büyük ölçüde karşılanabilir. Astigmatizm alanlarının boyutları ve dağılımları da yaklaşımımızla geliştirilmiştir. Örnekler yaklaşımımızın kapasitesini göstermektedir.
Finansman
Çin Ulusal Doğa Bilimleri Vakfı (NSFC) (61378056); Jiangsu Eyaleti (Çin) Yüksek Öğretim Kurumları Doğa Bilimleri Vakfı (17KJA140001); Jiangsu Eyaleti Papd Programı; Jiangsu on üç beş yıllık planın temel disiplinleri (20168765); Düşük boyutlu optoelektronik malzemeler ve cihazlar için Suzhou Anahtar Laboratuvarı (SYG201611); Suzhou Anahtar Endüstri Teknolojisi İnovasyon Planı (SYG201646); USTS İnovasyon Merkezi.
Onaylar
Yazarlar ayrıca değerli tavsiyeler için Soochow Üniversitesi Profesör Qian Lin'e ve editoryal öneriler için ABD'deki Augusta Üniversitesi'nden Dr. Cao Zongjian'a minnettardır.